Une sinusoïde, vraiment ?

(Un post plus particulièrement destiné à Stéphane et Amaury)

Dans un post précédent, je notais que nous perdions 8 minutes par jour d'ensoleillement. Je n'avais pas fait de calcul, juste regardé un éphéméride.

Mais comment pourrait-on calculer cela ?

Alors partons du principe que la durée d'ensoleillement baisse et augmente tout au long de l'année suivant une sinusoïde (ce qui est faux, mais nous verrons plus tard pourquoi). Essayons de calculer la "pente" la plus forte, c'est à dire la plus grande différence d'ensoleillement entre deux jours consécutifs.

Une sinusoïde normale a :

• une pente maximale de 1.
• une période de 2 * pi = 6.28 et des poussières.
• une différence entre le maximum (1) et le minimum (-1) de la courbe de 2.
  

Dans notre cas, nous avons :

• une période de 365 jours.
• une différence entre le maximum d'ensoleillement (18h37 le 21 Juin) et le minimum (6h04 le 22 Décembre) de 12 heures 33 minutes, soit 753 minutes.
  

Donc, la pente journalière est de (753 minutes /2) * (6.28 / 365 jours) = 6 minutes et 29 secondes par jour. Chaque jour; nous perdons donc ce temps d'ensoleillement.

Ah ! Mais ça ne colle pas ! Il y a bien 8 minutes entre deux jours consécutifs en ce moment. C'est toujours gênant quand la théorie ne correspond pas à la pratique.

Une des hypothèses est fausse, quelle est elle ? Et bien tout simplement, nous n'avons pas une sinusoïde, mais une courbe un peu plus complexe que cela. Pour s'en convaincre, il suffit de prendre quelques cas aux extrêmes.

Prenons les pôles. Que ce soit au sud ou au nord, nous avons 6 mois de jours et 6 mois de nuit. Autrement dit, pendant 6 mois les jours durent 24 heures, et pendant 6 mois ils durent 0 heures, 0 minutes, 0 secondes. Cela ressemble plus à un signal carré qu'à une sinusoïde... et la différence entre deux jours consécutifs est de rien du tout tout au long de l'année, sauf deux fois où elle est de 24 heures lors du basculement.

Si l'on prend le Svalbard, il y a environ 4 mois d'ensoleillement consécutif (24 heures de soleil par jour), 2 mois pendant lesquels les jours raccourcissent, 4 mois de nuit, 2 mois pendant lesquels les jours rallongent. C'est une courbe écrêtée pour le moins.

Alors question aux matheux: quelle est la bonne formule ?

J'attends...

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Mise à jour (1): J'ai reçu une première réponse d'Alain Crémieux qui écrit un mail intitulé "Long comme un jour sans pain":

"Bon courage pour la lecture complète, la compréhension totale et l’apprentissage par cœur de cet article dont la référence internet est donnée.
Attention ! Nous comptons venir à Stockholm et il y aura une interrogation écrite !

http://herbert.gandraxa.com/herbert/lod.asp
"
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Mise à jour (2)

Plus courageux, mon père signe une réponse de sa propre main, ici recopiée (images à cliquer pour voir la réponse)